AYT Türev Testi
AYT Matematik Türev konusundan 10 soruluk süreli test. Başla butonuna bas, soruları çöz; bitirdiğinde netini ve her sorunun çözümünü anında gör. Testin altında konu özetini de bulabilirsin.
- 10 soru
- 15 dakika
- Çözümlü
- Test 1/2
-
Soru 1
f(x) = x³ − 2x² + 5 olduğuna göre f′(2) kaçtır?Çözüm: f′(x) = 3x² − 4x ⇒ f′(2) = 12 − 8 = 4. Bu soruda hata mı var? Bildir -
Soru 2
f(x) = (2x + 1)⁴ olduğuna göre f′(0) kaçtır?Çözüm: Zincir kuralı: f′(x) = 4(2x + 1)³·2 = 8(2x + 1)³.
f′(0) = 8·1 = 8. Bu soruda hata mı var? Bildir -
Soru 3
f(x) = x·√(x + 3) olduğuna göre f′(1) kaçtır?Çözüm: Çarpım kuralı: f′(x) = √(x + 3) + x·1/(2√(x + 3)).
f′(1) = √4 + 1/(2·2) = 2 + 1/4 = 9/4. Bu soruda hata mı var? Bildir -
Soru 4
y = x² − 3x + 1 eğrisine apsisi 2 olan noktasından çizilen teğet doğrusunun y eksenini kestiği noktanın ordinatı kaçtır?Çözüm: y(2) = 4 − 6 + 1 = −1 ⇒ değme noktası (2, −1).
y′ = 2x − 3 ⇒ eğim m = 1.
Teğet: y + 1 = 1·(x − 2) ⇒ y = x − 3.
x = 0 ⇒ y = −3. Bu soruda hata mı var? Bildir -
Soru 5
f(x) = x³ − 3x² − 9x + 2 fonksiyonunun yerel maksimum değeri kaçtır?Çözüm: f′(x) = 3x² − 6x − 9 = 3(x − 3)(x + 1) = 0 ⇒ x = −1 veya x = 3.
f′ işareti: x < −1 için +, −1 < x < 3 için − ⇒ x = −1'de yerel maksimum.
f(−1) = −1 − 3 + 9 + 2 = 7. Bu soruda hata mı var? Bildir -
Soru 6
f(x) = (x² + 1)/(x − 1) olduğuna göre f′(2) kaçtır?Çözüm: Bölüm kuralı: f′(x) = [2x(x − 1) − (x² + 1)·1]/(x − 1)² = (x² − 2x − 1)/(x − 1)².
f′(2) = (4 − 4 − 1)/1 = −1. Bu soruda hata mı var? Bildir -
Soru 7
f(x) = x³ + ax² + 3x + 1 fonksiyonu gerçel sayılar kümesinde daima artan olduğuna göre a'nın alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?Çözüm: Daima artan ⇒ her x için f′(x) = 3x² + 2ax + 3 ≥ 0.
Başkatsayı pozitif olduğundan Δ ≤ 0: 4a² − 36 ≤ 0 ⇒ −3 ≤ a ≤ 3.
Tam sayılar −3, …, 3 ⇒ toplam 0. Bu soruda hata mı var? Bildir -
Soru 8
Alt kenarı x ekseni üzerinde olan ve üst köşeleri y = 12 − x² parabolü üzerinde bulunan dikdörtgenlerin alanlarının en büyük değeri kaç birimkaredir?Çözüm: Üst köşeler (−x, 12 − x²) ve (x, 12 − x²) olsun (0 < x < 2√3).
A(x) = 2x(12 − x²) = 24x − 2x³.
A′(x) = 24 − 6x² = 0 ⇒ x = 2.
A(2) = 4·8 = 32. Bu soruda hata mı var? Bildir -
Soru 9
f(x) = x³ + x + 1 fonksiyonunun tersi f⁻¹ olduğuna göre (f⁻¹)′(3) değeri kaçtır?Çözüm: f(a) = 3 ⇒ a³ + a + 1 = 3 ⇒ a = 1.
f′(x) = 3x² + 1 ⇒ f′(1) = 4.
(f⁻¹)′(3) = 1/f′(1) = 1/4. Bu soruda hata mı var? Bildir -
Soru 10
y = x³ eğrisine A(0, −2) noktasından çizilen teğetin eğimi kaçtır?Çözüm: Değme noktası (a, a³) olsun; teğet: y − a³ = 3a²(x − a).
A(0, −2) teğet üzerinde: −2 − a³ = −3a³ ⇒ 2a³ = 2 ⇒ a = 1.
Eğim: 3a² = 3. Bu soruda hata mı var? Bildir
Sonucun
Türev Konu Özeti
Türev, bir fonksiyonun anlık değişim hızını ve grafiğe çizilen teğetin eğimini verir. AYT'de önce türev alma kurallarını sağlam öğrenmelisin: kuvvet kuralı (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹, çarpım kuralı, bölüm kuralı ve bileşke fonksiyonlar için zincir kuralı. Köklü ifadelerde (√u)′ = u′/(2√u) formülü sık kullanılır. Bir eğrinin x = a noktasındaki teğetinin eğimi f′(a), teğet doğrusunun denklemi ise y − f(a) = f′(a)(x − a) biçimindedir.
Türevin uygulamaları sınavın en ağırlıklı kısmıdır. f′(x) > 0 olan aralıkta fonksiyon artan, f′(x) < 0 olan aralıkta azalandır. f′ işaret değiştirdiği noktalar yerel ekstremumlardır; artandan azalana geçişte yerel maksimum oluşur. Daima artan fonksiyon sorularında f′(x) ≥ 0 şartını diskriminantla incelersin. Optimizasyon sorularında önce büyüklüğü tek değişkenle ifade eder, türevini sıfıra eşitlersin. Ters fonksiyonun türevi (f⁻¹)′(b) = 1/f′(a) formülüyle bulunur; burada f(a) = b'dir.
Bilmen Gerekenler
- (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹; (f·g)′ = f′g + fg′; (f/g)′ = (f′g − fg′)/g².
- Zincir kuralı: [f(g(x))]′ = f′(g(x))·g′(x).
- (√u)′ = u′/(2√u).
- Teğet denklemi: y − f(a) = f′(a)(x − a); normalin eğimi −1/f′(a).
- f′ > 0 ise artan, f′ < 0 ise azalan; f′ işaret değiştiriyorsa ekstremum vardır.
- Daima artan üçüncü dereceden fonksiyon ⇔ f′(x) ≥ 0 ⇔ Δ(f′) ≤ 0.
- (f⁻¹)′(b) = 1/f′(a), f(a) = b.
Sık Yapılan Hatalar
- Zincir kuralında içteki fonksiyonun türeviyle çarpmayı unutmak.
- Bölüm kuralında paydaki terimlerin sırasını karıştırmak.
- f′(a) = 0 olan her noktayı ekstremum sanmak; işaret değişimi kontrol edilmelidir.
- Ters fonksiyonun türevinde f′(b) hesaplamak; doğrusu f(a) = b olan a için f′(a)'dır.
Sıkça Sorulan Sorular
Türev testini nasıl çözmeliyim?
Önce aşağıdaki konu özetini oku, ardından süreyi başlatıp soruları gerçek sınavdaki gibi çöz. Bitirdiğinde yanlış ve boş bıraktığın soruların çözümlerini incele; eksik kaldığın noktaları konu özetinden tekrar et ve testi yeniden çöz.
Türev testi kaç soru ve kaç dakika?
Bu AYT Türev testi 10 sorudan oluşur ve süresi 15 dakikadır. Test bittiğinde netin 4 yanlış 1 doğruyu götürür kuralına göre hesaplanır.