AYT Karmaşık Sayılar Testi
AYT Matematik Karmaşık Sayılar konusundan 10 soruluk süreli test. Başla butonuna bas, soruları çöz; bitirdiğinde netini ve her sorunun çözümünü anında gör. Testin altında konu özetini de bulabilirsin.
- 10 soru
- 15 dakika
- Çözümlü
- Test 1/2
-
Soru 1
i² = −1 olmak üzere i²⁷ + i⁴² toplamı aşağıdakilerden hangisidir?Çözüm: i'nin kuvvetleri 4'te bir tekrar eder.
27 = 4·6 + 3 ⇒ i²⁷ = i³ = −i.
42 = 4·10 + 2 ⇒ i⁴² = i² = −1.
Toplam: −1 − i. Bu soruda hata mı var? Bildir -
Soru 2
z = 3 − 4i karmaşık sayısı için z·z̄ çarpımı kaçtır? (z̄: z'nin eşleniği)Çözüm: z̄ = 3 + 4i.
z·z̄ = 3² + 4² = 9 + 16 = 25. Bu soruda hata mı var? Bildir -
Soru 3
z = (2 + i)/(1 − i) karmaşık sayısının gerçel kısmı ile sanal kısmının toplamı kaçtır?Çözüm: Pay ve paydayı paydanın eşleniği (1 + i) ile çarparız:
(2 + i)(1 + i)/((1 − i)(1 + i)) = (2 + 2i + i + i²)/2 = (1 + 3i)/2.
Re(z) = 1/2, Im(z) = 3/2 ⇒ toplam 2. Bu soruda hata mı var? Bildir -
Soru 4
z karmaşık sayısı z + 2z̄ = 6 − 2i eşitliğini sağladığına göre |z| kaçtır?Çözüm: z = a + bi ⇒ z̄ = a − bi.
z + 2z̄ = 3a − bi = 6 − 2i ⇒ a = 2, b = 2.
|z| = √(4 + 4) = 2√2. Bu soruda hata mı var? Bildir -
Soru 5
(1 + i)¹⁰ ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?Çözüm: (1 + i)² = 1 + 2i + i² = 2i.
(1 + i)¹⁰ = ((1 + i)²)⁵ = (2i)⁵ = 32·i⁵ = 32i. Bu soruda hata mı var? Bildir -
Soru 6
x² − 4x + 13 = 0 denkleminin sanal kısmı pozitif olan kökü z₁ olduğuna göre z₁² aşağıdakilerden hangisidir?Çözüm: Δ = 16 − 52 = −36 ⇒ x = (4 ± 6i)/2 = 2 ± 3i.
z₁ = 2 + 3i.
z₁² = 4 + 12i + 9i² = 4 + 12i − 9 = −5 + 12i. Bu soruda hata mı var? Bildir -
Soru 7
z = x + yi karmaşık sayısı |z − 2i| = |z − 4| eşitliğini sağlıyor.
Buna göre z'nin karmaşık düzlemdeki görüntülerinin oluşturduğu kümenin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?Çözüm: |z − 2i|² = x² + (y − 2)², |z − 4|² = (x − 4)² + y².
Eşitlersek: −4y + 4 = −8x + 16 ⇒ 8x − 4y = 12 ⇒ 2x − y = 3.
(Bu doğru, 2i ve 4 noktalarını birleştiren doğru parçasının orta dikmesidir.) Bu soruda hata mı var? Bildir -
Soru 8
z = −1/2 + (√3/2)i olduğuna göre z¹⁰⁰ + z⁵⁰ toplamı kaçtır?Çözüm: z, z² + z + 1 = 0 denkleminin köküdür; bu denklemi (z − 1) ile çarparsak z³ − 1 = 0 ⇒ z³ = 1.
100 = 3·33 + 1 ⇒ z¹⁰⁰ = z.
50 = 3·16 + 2 ⇒ z⁵⁰ = z².
z¹⁰⁰ + z⁵⁰ = z + z² = −1. Bu soruda hata mı var? Bildir -
Soru 9
z·z̄ + 2z = 7 + 4i
eşitliğini sağlayan z karmaşık sayılarının toplamı aşağıdakilerden hangisidir?Çözüm: z = a + bi ⇒ z·z̄ = a² + b².
a² + b² + 2a + 2bi = 7 + 4i.
Sanal kısımlar: 2b = 4 ⇒ b = 2.
Gerçel kısımlar: a² + 4 + 2a = 7 ⇒ a² + 2a − 3 = 0 ⇒ a = 1 veya a = −3.
z₁ = 1 + 2i, z₂ = −3 + 2i ⇒ toplam −2 + 4i. Bu soruda hata mı var? Bildir -
Soru 10
i² = −1 olmak üzere
i + i² + i³ + … + i²⁰²⁷
toplamı kaçtır?Çözüm: Ardışık dört kuvvetin toplamı i + (−1) + (−i) + 1 = 0'dır.
2027 = 4·506 + 3 olduğundan ilk 2024 terimin toplamı 0'dır.
Kalan terimler: i²⁰²⁵ + i²⁰²⁶ + i²⁰²⁷ = i + i² + i³ = i − 1 − i = −1. Bu soruda hata mı var? Bildir
Sonucun
Karmaşık Sayılar Konu Özeti
Karmaşık sayılar, i² = −1 olacak şekilde tanımlanan i sanal birimiyle oluşturulan z = a + bi biçimindeki sayılardır. Burada a gerçel kısım, b sanal kısımdır. İki karmaşık sayı ancak gerçel ve sanal kısımları ayrı ayrı eşitse eşittir; bu kural denklem sorularının anahtarıdır. z'nin eşleniği z̄ = a − bi, modülü |z| = √(a² + b²) ve z·z̄ = a² + b² = |z|² bağıntıları en çok kullanacağın araçlardır.
i'nin kuvvetleri 4'te bir tekrar eder: i, −1, −i, 1. Büyük üsleri 4'e bölüp kalana bakarak sadeleştirirsin; ardışık dört kuvvetin toplamı sıfırdır. Bölme işleminde pay ve paydayı paydanın eşleniğiyle çarparsın. AYT'de ayrıca (1 + i)² = 2i gibi kısayollar, ikinci dereceden denklemlerin karmaşık kökleri ve |z − z₁| = |z − z₂| gibi ifadelerin karmaşık düzlemdeki geometrik yorumu sorulur. Bu son ifade, iki noktayı birleştiren doğru parçasının orta dikmesini belirtir.
Bilmen Gerekenler
- i¹ = i, i² = −1, i³ = −i, i⁴ = 1; iⁿ için n'nin 4'e bölümünden kalana bakılır.
- Ardışık dört kuvvetin toplamı: iⁿ + iⁿ⁺¹ + iⁿ⁺² + iⁿ⁺³ = 0.
- z = a + bi ⇒ z̄ = a − bi, |z| = √(a² + b²), z·z̄ = |z|².
- Bölme: pay ve payda paydanın eşleniğiyle çarpılır.
- (1 + i)² = 2i, (1 − i)² = −2i.
- Gerçel katsayılı ikinci dereceden denklemde Δ < 0 ise kökler birbirinin eşleniğidir.
- |z − z₁| = r bir çember, |z − z₁| = |z − z₂| bir doğru (orta dikme) belirtir.
Sık Yapılan Hatalar
- Sanal kısmı bi olarak yazmak; sanal kısım i'siz katsayı olan b'dir.
- |z|² ile z² ifadelerini aynı sanmak.
- i'nin kuvvetinde 4'e bölümden kalan 0 iken sonucu i sanmak (doğrusu 1'dir).
- Eşitlik sorularında gerçel ve sanal kısımları ayrı ayrı eşitlemeyi unutmak.
Sıkça Sorulan Sorular
Karmaşık Sayılar testini nasıl çözmeliyim?
Önce aşağıdaki konu özetini oku, ardından süreyi başlatıp soruları gerçek sınavdaki gibi çöz. Bitirdiğinde yanlış ve boş bıraktığın soruların çözümlerini incele; eksik kaldığın noktaları konu özetinden tekrar et ve testi yeniden çöz.
Karmaşık Sayılar testi kaç soru ve kaç dakika?
Bu AYT Karmaşık Sayılar testi 10 sorudan oluşur ve süresi 15 dakikadır. Test bittiğinde netin 4 yanlış 1 doğruyu götürür kuralına göre hesaplanır.