AYT Karmaşık Sayılar Testi 2

Çözüm: (2 + 3i)(1 − 2i) = 2 − 4i + 3i − 6i².
i² = −1 olduğundan −6i² = 6.
Sonuç: 2 + 6 − i = 8 − i. Bu soruda hata mı var? Bildir

Çözüm: Çarpımın modülü, modüllerin çarpımıdır.
|3 + 4i| = 5, |1 − i| = √2.
|z| = 5·√2 = 5√2. Bu soruda hata mı var? Bildir

Çözüm: Pay ve paydayı paydanın eşleniği 2 + i ile çarpalım:
z = (1 + 2i)(2 + i)/5 = (2 + i + 4i + 2i²)/5 = 5i/5 = i.
2026 = 4·506 + 2 ⇒ i²⁰²⁶ = i² = −1. Bu soruda hata mı var? Bildir

Çözüm: z = a + bi ⇒ 3z − z̄ = 3a + 3bi − a + bi = 2a + 4bi.
2a = 4 ⇒ a = 2; 4b = 8 ⇒ b = 2 ⇒ z = 2 + 2i.
z² = 4 + 8i + 4i² = 8i. Bu soruda hata mı var? Bildir

Çözüm: |z − (−1 + 2i)| = 3 ⇒ z'nin görüntüleri merkezi M(−1, 2), yarıçapı 3 olan çember üzerindedir.
|z|, orijinin çember üzerindeki noktalara uzaklığıdır.
|OM| = √(1 + 4) = √5 < 3 olduğundan orijin çemberin içindedir; en büyük uzaklık |OM| + r = 3 + √5. Bu soruda hata mı var? Bildir

Çözüm: |z| = √(3 + 1) = 2, z ikinci bölgede ve tan θ = −1/√3 ⇒ θ = 150°.
De Moivre: z⁶ = 2⁶·(cos 900° + i sin 900°).
900° = 2·360° + 180° ⇒ cos 180° + i sin 180° = −1.
z⁶ = 64·(−1) = −64. Bu soruda hata mı var? Bildir

Çözüm: Katsayılar gerçel olduğundan diğer kök eşlenik olan 3 + i'dir.
Kökler toplamı 6 = −a ⇒ a = −6.
Kökler çarpımı (3 − i)(3 + i) = 9 + 1 = 10 = b.
a + b = −6 + 10 = 4. Bu soruda hata mı var? Bildir

Çözüm: cis θ = cos θ + i·sin θ olsun.
Pay: (cis 15°)⁸ = cis 120°.
cos 10° − i·sin 10° = cis(−10°) ⇒ payda: cis(−30°).
Bölüm: cis(120° − (−30°)) = cis 150° = −√3/2 + i/2. Bu soruda hata mı var? Bildir

Çözüm: z = a + bi ⇒ z² = a² − b² + 2abi.
a² − b² = −5 ve 2ab = 12 ⇒ ab = 6.
Ayrıca |z|² = |z²| = 13 ⇒ a² + b² = 13.
Toplarsak 2a² = 8 ⇒ a = ±2; ab = 6 ⇒ b = ±3 (aynı işaretli).
Sanal kısmı pozitif olan z = 2 + 3i ⇒ 2 + 3 = 5. Bu soruda hata mı var? Bildir

Çözüm: i'nin kuvvetleri 4'lü devreder: 1, i, −1, −i.
İlk dört terim: 1 + 2i − 3 − 4i = −2 − 2i.
Sonraki dört terim: 5 + 6i − 7 − 8i = −2 − 2i.
Toplam: −4 − 4i. Bu soruda hata mı var? Bildir