AYT Limit ve Süreklilik Testi
AYT Matematik Limit ve Süreklilik konusundan 10 soruluk süreli test. Başla butonuna bas, soruları çöz; bitirdiğinde netini ve her sorunun çözümünü anında gör. Testin altında konu özetini de bulabilirsin.
- 10 soru
- 15 dakika
- Çözümlü
- Test 1/2
-
Soru 1
lim_(x→2) (x² − 4)/(x − 2) limitinin değeri kaçtır?Çözüm: 0/0 belirsizliği vardır. (x² − 4)/(x − 2) = x + 2 (x ≠ 2).
Limit: 2 + 2 = 4. Bu soruda hata mı var? Bildir -
Soru 2
lim_(x→∞) (3x² − x)/(2x² + 5) limitinin değeri kaçtır?Çözüm: Pay ve paydanın dereceleri eşit olduğundan limit başkatsayıların oranıdır: 3/2. Bu soruda hata mı var? Bildir -
Soru 3
lim_(x→4) (√x − 2)/(x − 4) limitinin değeri kaçtır?Çözüm: x − 4 = (√x − 2)(√x + 2) olduğundan ifade 1/(√x + 2) olur.
Limit: 1/(2 + 2) = 1/4. Bu soruda hata mı var? Bildir -
Soru 4
f(x) = { ax + 3, x < 2 ise ; x² − a, x ≥ 2 ise }
fonksiyonu x = 2 noktasında sürekli olduğuna göre a kaçtır?Çözüm: Süreklilik için soldan limit = sağdan limit = f(2):
2a + 3 = 4 − a ⇒ 3a = 1 ⇒ a = 1/3. Bu soruda hata mı var? Bildir -
Soru 5
lim_(x→2⁻) (x² − 4)/|x − 2| limitinin değeri kaçtır?Çözüm: x → 2⁻ iken x − 2 < 0 ⇒ |x − 2| = −(x − 2).
(x² − 4)/(−(x − 2)) = −(x + 2) → −4. Bu soruda hata mı var? Bildir -
Soru 6
lim_(x→1) (x³ − 1)/(x² + x − 2) limitinin değeri kaçtır?Çözüm: x³ − 1 = (x − 1)(x² + x + 1), x² + x − 2 = (x − 1)(x + 2).
Sadeleştirince (x² + x + 1)/(x + 2) → 3/3 = 1. Bu soruda hata mı var? Bildir -
Soru 7
lim_(x→∞) (√(x² + 6x) − x) limitinin değeri kaçtır?Çözüm: Eşlenikle çarpalım: (x² + 6x − x²)/(√(x² + 6x) + x) = 6x/(√(x² + 6x) + x).
Pay ve paydayı x'e bölersek 6/(√(1 + 6/x) + 1) → 6/2 = 3. Bu soruda hata mı var? Bildir -
Soru 8
a ve b gerçel sayılar olmak üzere
lim_(x→2) (ax² + bx − 4)/(x − 2) = 5
olduğuna göre a·b çarpımı kaçtır?Çözüm: Limit sonlu ve payda 0'a gittiğinden pay da 0 olmalı: 4a + 2b − 4 = 0 ⇒ 2a + b = 2.
Bu durumda limit, payın x = 2'deki türevine eşittir (L'Hospital): 4a + b = 5.
Çıkarırsak 2a = 3 ⇒ a = 3/2, b = −1.
a·b = −3/2. Bu soruda hata mı var? Bildir -
Soru 9
f(x) = (x² − 1)/(x² − 3x + 2) olduğuna göre lim_(x→1) f(x) değeri kaçtır?Çözüm: x² − 1 = (x − 1)(x + 1), x² − 3x + 2 = (x − 1)(x − 2).
x ≠ 1 için f(x) = (x + 1)/(x − 2).
Limit: 2/(−1) = −2. Bu soruda hata mı var? Bildir -
Soru 10
lim_(x→−∞) (√(4x² + x) + 2x) limitinin değeri kaçtır?Çözüm: ∞ − ∞ belirsizliği; eşlenikle çarpalım:
(4x² + x − 4x²)/(√(4x² + x) − 2x) = x/(√(4x² + x) − 2x).
x < 0 iken √(4x² + x) = |x|·√(4 + 1/x) = −x·√(4 + 1/x).
Pay ve paydayı x'e bölersek: 1/(−√(4 + 1/x) − 2) → 1/(−2 − 2) = −1/4. Bu soruda hata mı var? Bildir
Sonucun
Limit ve Süreklilik Konu Özeti
Limit, x bir değere yaklaşırken fonksiyonun yaklaştığı değeri inceler. Bir noktada limitin var olması için soldan ve sağdan limitlerin eşit olması gerekir. Fonksiyon o noktada tanımlı olmasa bile limit var olabilir. Doğrudan yerine koyma 0/0 veya ∞/∞ gibi belirsizlik veriyorsa ifadeyi çarpanlarına ayırarak sadeleştirir, köklü ifadelerde eşlenikle çarpar ya da uygun durumlarda L'Hospital kuralını kullanırsın. Mutlak değerli ifadelerde ise soldan ve sağdan limiti ayrı ayrı hesaplamalısın.
Sonsuzda limitte rasyonel ifadelerin derecelerine bakarsın: pay ve payda aynı dereceliyse limit başkatsayıların oranıdır, payın derecesi küçükse limit sıfırdır. √(x² + ax) − x gibi ∞ − ∞ belirsizliklerinde eşlenikle çarpmak gerekir; x → −∞ iken √(x²) = −x olduğunu unutma. Süreklilik için limit değeri ile fonksiyon değerinin eşit olması gerekir. Parçalı fonksiyonlarda sınır noktasında iki parçanın değerlerini eşitleyerek bilinmeyen parametreyi bulursun.
Bilmen Gerekenler
- Limit var ⇔ soldan limit = sağdan limit.
- Süreklilik: lim_(x→a) f(x) = f(a).
- 0/0 belirsizliğinde çarpanlara ayır, eşlenikle çarp ya da L'Hospital uygula.
- Sonsuzda rasyonel ifade: der pay = der payda ise başkatsayılar oranı; der pay < der payda ise 0.
- x → −∞ iken √(x²) = |x| = −x.
- Limit sonlu ve payda sıfıra gidiyorsa pay da sıfıra gitmelidir.
- Polinom, üstel, sinüs ve kosinüs fonksiyonları her yerde süreklidir.
Sık Yapılan Hatalar
- 0/0 durumunu limit yok sanmak.
- Mutlak değerli ifadelerde soldan ve sağdan limiti ayrı incelememek.
- x → −∞ iken kökten çıkan x'in işaretini yanlış almak.
- Süreklilikte fonksiyonun o noktadaki değerini kontrol etmeyi unutmak.
Sıkça Sorulan Sorular
Limit ve Süreklilik testini nasıl çözmeliyim?
Önce aşağıdaki konu özetini oku, ardından süreyi başlatıp soruları gerçek sınavdaki gibi çöz. Bitirdiğinde yanlış ve boş bıraktığın soruların çözümlerini incele; eksik kaldığın noktaları konu özetinden tekrar et ve testi yeniden çöz.
Limit ve Süreklilik testi kaç soru ve kaç dakika?
Bu AYT Limit ve Süreklilik testi 10 sorudan oluşur ve süresi 15 dakikadır. Test bittiğinde netin 4 yanlış 1 doğruyu götürür kuralına göre hesaplanır.