AYT Polinomlar Testi
AYT Matematik Polinomlar konusundan 10 soruluk süreli test. Başla butonuna bas, soruları çöz; bitirdiğinde netini ve her sorunun çözümünü anında gör. Testin altında konu özetini de bulabilirsin.
- 10 soru
- 15 dakika
- Çözümlü
- Test 1/2
-
Soru 1
P(x) = 2x³ − x² + ax − 4 polinomu için P(2) = 10 olduğuna göre a kaçtır?Çözüm: P(2) = 2·8 − 4 + 2a − 4 = 8 + 2a.
8 + 2a = 10 ⇒ a = 1. Bu soruda hata mı var? Bildir -
Soru 2
P(x) = (x² − 3x + 1)⁴ polinomunun sabit terimi ile katsayılar toplamının toplamı kaçtır?Çözüm: Sabit terim P(0) = 1⁴ = 1.
Katsayılar toplamı P(1) = (1 − 3 + 1)⁴ = (−1)⁴ = 1.
Toplam: 1 + 1 = 2. Bu soruda hata mı var? Bildir -
Soru 3
P(x) polinomunun x − 2 ile bölümünden kalan 5, x + 1 ile bölümünden kalan −4'tür.
Buna göre P(x) polinomunun x² − x − 2 ile bölümünden kalan aşağıdakilerden hangisidir?Çözüm: x² − x − 2 = (x − 2)(x + 1) olduğundan kalan K(x) = ax + b biçimindedir.
P(2) = 2a + b = 5 ve P(−1) = −a + b = −4.
Taraf tarafa çıkarırsak 3a = 9 ⇒ a = 3, b = −1.
Kalan: 3x − 1. Bu soruda hata mı var? Bildir -
Soru 4
P(x + 1) = x³ + 2x − 3 olduğuna göre P(x) polinomunun x − 3 ile bölümünden kalan kaçtır?Çözüm: Kalan P(3)'tür. x + 1 = 3 ⇒ x = 2.
P(3) = 2³ + 2·2 − 3 = 8 + 4 − 3 = 9. Bu soruda hata mı var? Bildir -
Soru 5
P(x) üçüncü dereceden, Q(x) ikinci dereceden birer polinomdur.
Buna göre
der[P(x²)·Q(x)] + der[P(Q(x))]
toplamı kaçtır?Çözüm: der P(x²) = 3·2 = 6 ⇒ der[P(x²)·Q(x)] = 6 + 2 = 8.
der P(Q(x)) = 3·2 = 6.
Toplam: 8 + 6 = 14. Bu soruda hata mı var? Bildir -
Soru 6
P(x) = x³ − 2x² + kx + 6 polinomu x − 3 ile tam bölünebilmektedir.
Buna göre P(x) polinomunun diğer iki kökünün çarpımı kaçtır?Çözüm: P(3) = 27 − 18 + 3k + 6 = 0 ⇒ k = −5.
Kökler çarpımı −6/1 = −6 (üçüncü derecede −d/a).
x = 3 bir kök olduğundan diğer iki kökün çarpımı −6/3 = −2.
(Gerçekten x³ − 2x² − 5x + 6 = (x − 3)(x − 1)(x + 2).) Bu soruda hata mı var? Bildir -
Soru 7
P(x) = x³ + ax + b polinomu (x − 1)² ile tam bölünebildiğine göre a·b çarpımı kaçtır?Çözüm: (x − 1)² ile bölünebiliyorsa x = 1 çift katlı köktür: P(1) = 0 ve P′(1) = 0.
P′(x) = 3x² + a ⇒ 3 + a = 0 ⇒ a = −3.
P(1) = 1 − 3 + b = 0 ⇒ b = 2.
a·b = −6. Bu soruda hata mı var? Bildir -
Soru 8
Başkatsayısı 1 olan üçüncü dereceden bir P(x) polinomu için
P(1) = P(2) = P(3) = 4
olduğuna göre P(5) kaçtır?Çözüm: P(x) − 4 polinomunun kökleri 1, 2, 3'tür ve başkatsayısı 1'dir:
P(x) − 4 = (x − 1)(x − 2)(x − 3).
P(5) = 4·3·2 + 4 = 28. Bu soruda hata mı var? Bildir -
Soru 9
P(x) polinomunun x³ − 1 ile bölümünden kalan 2x² + x − 3'tür.
Buna göre P(x) polinomunun x² + x + 1 ile bölümünden kalan aşağıdakilerden hangisidir?Çözüm: x³ − 1 = (x − 1)(x² + x + 1) olduğundan P(x) = (x³ − 1)·B(x) + 2x² + x − 3.
(x³ − 1)·B(x) kısmı x² + x + 1 ile tam bölünür; kalanı 2x² + x − 3 belirler.
2x² + x − 3 = 2(x² + x + 1) − x − 5.
Kalan: −x − 5. Bu soruda hata mı var? Bildir -
Soru 10
İkinci dereceden bir P(x) polinomu için her x gerçel sayısında
P(x − 1) + P(x + 1) = 4x² + 2x + 6
eşitliği sağlanıyor. Buna göre P(2) kaçtır?Çözüm: P(x) = ax² + bx + c olsun.
P(x − 1) + P(x + 1) = 2ax² + 2bx + 2a + 2c.
2a = 4 ⇒ a = 2; 2b = 2 ⇒ b = 1; 2a + 2c = 6 ⇒ c = 1.
P(x) = 2x² + x + 1 ⇒ P(2) = 8 + 2 + 1 = 11. Bu soruda hata mı var? Bildir
Sonucun
Polinomlar Konu Özeti
Polinomlar konusu AYT'de kalan teoremi, polinom bölmesi, çarpanlara ayırma ve kökler üzerinden sorulur. Bir P(x) polinomunun x − a ile bölümünden kalan P(a)'dır. Bölen ikinci dereceden olduğunda kalan en fazla birinci dereceden olur ve ax + b biçiminde yazılır. Katsayılar toplamı P(1), sabit terim ise P(0) ile bulunur. Derece sorularında der[P·Q] = der P + der Q ve der P(Q(x)) = der P · der Q kurallarını kullanırsın.
Sınavda sık görülen kalıplar şunlardır: iki farklı bölme bilgisinden kalan polinomunu bulmak, belirli değerlerde eşit olan polinomu (x − a)(x − b)… + k biçiminde kurmak ve kök bilgisinden katsayı hesaplamak. Bir polinom (x − a)² ile tam bölünüyorsa hem P(a) = 0 hem de P′(a) = 0'dır. Kalanı bulurken bölen ifadeyi sıfır yapan değeri yerine koymak çoğu zaman en kısa yoldur. Özdeşlik sorularında ise aynı dereceli terimlerin katsayılarını eşitleyerek bilinmeyenleri bulursun.
Bilmen Gerekenler
- P(x)'in x − a ile bölümünden kalan P(a)'dır; ax − b ile bölümünden kalan P(b/a)'dır.
- Katsayılar toplamı P(1), sabit terim P(0)'dır.
- der[P(x)·Q(x)] = der P + der Q; der[P(Q(x))] = der P · der Q.
- İkinci dereceden bir bölene göre kalan ax + b biçimindedir.
- P(a) = P(b) = P(c) = k ise P(x) − k polinomu (x − a)(x − b)(x − c) ile bölünür.
- (x − a)² ile tam bölünme ⇔ P(a) = 0 ve P′(a) = 0.
- Üçüncü dereceden ax³ + bx² + cx + d için kökler çarpımı −d/a, kökler toplamı −b/a'dır.
Sık Yapılan Hatalar
- P(x + 1) verildiğinde P(3) için doğrudan x = 3 yazmak.
- Kalanın derecesinin bölenin derecesinden küçük olması gerektiğini unutmak.
- Üçüncü derecede kökler çarpımının işaretini (−d/a) yanlış almak.
- Katsayılar toplamını sabit terimi dahil etmeden hesaplamak.
Sıkça Sorulan Sorular
Polinomlar testini nasıl çözmeliyim?
Önce aşağıdaki konu özetini oku, ardından süreyi başlatıp soruları gerçek sınavdaki gibi çöz. Bitirdiğinde yanlış ve boş bıraktığın soruların çözümlerini incele; eksik kaldığın noktaları konu özetinden tekrar et ve testi yeniden çöz.
Polinomlar testi kaç soru ve kaç dakika?
Bu AYT Polinomlar testi 10 sorudan oluşur ve süresi 15 dakikadır. Test bittiğinde netin 4 yanlış 1 doğruyu götürür kuralına göre hesaplanır.