AYT Üçgenler Testi
AYT Geometri Üçgenler konusundan 10 soruluk süreli test. Başla butonuna bas, soruları çöz; bitirdiğinde netini ve her sorunun çözümünü anında gör. Testin altında konu özetini de bulabilirsin.
- 10 soru
- 15 dakika
- Çözümlü
- Test 1/2
-
Soru 1
ABC üçgeninde |AB| = 8 cm, |AC| = 5 cm ve m(BÂC) = 60°'dir.
Buna göre |BC| kaç cm'dir?Çözüm: Kosinüs teoremi: |BC|² = 8² + 5² − 2·8·5·cos 60° = 64 + 25 − 40 = 49.
|BC| = 7 cm bulunur. Bu soruda hata mı var? Bildir -
Soru 2
ABC üçgeninde |AB| = 6 cm, |AC| = 10 cm ve BÂC açısı dar açıdır.
ABC üçgeninin alanı 15√2 cm² olduğuna göre m(BÂC) kaç derecedir?Çözüm: Alan = (1/2)·|AB|·|AC|·sin A ⇒ 15√2 = (1/2)·6·10·sin A = 30·sin A.
sin A = √2/2; A dar açı olduğundan m(BÂC) = 45° (135° dar olmadığı için elenir). Bu soruda hata mı var? Bildir -
Soru 3
ABC üçgeninde m(BÂC) = 45°, m(AĈB) = 30° ve |BC| = 6√2 cm'dir.
Buna göre |AB| kaç cm'dir?Çözüm: Sinüs teoremi: |BC|/sin A = |AB|/sin C.
6√2/(√2/2) = |AB|/(1/2) ⇒ 12 = 2·|AB| ⇒ |AB| = 6 cm. Bu soruda hata mı var? Bildir -
Soru 4
ABC üçgeninde D noktası [BC] kenarının orta noktası, E noktası [AC] kenarı üzerinde ve |AE| = 2·|EC|'dir.
[AD] ile [BE] doğru parçaları K noktasında kesişiyor.
Buna göre |AK| / |KD| oranı kaçtır?Çözüm: Ağırlık (kütle) noktası yöntemi: |AE| : |EC| = 2 : 1 olduğundan A'ya 1, C'ye 2 kütle verilir.
D, [BC]'nin orta noktası olduğundan B'ye de 2 kütle verilir; D'nin kütlesi 2 + 2 = 4 olur.
|AK| / |KD| = kütle(D) / kütle(A) = 4/1 = 4.
(Menelaus teoremi ile de aynı sonuç elde edilir.) Bu soruda hata mı var? Bildir -
Soru 5
ABC üçgeninde |AB| = 7 cm, |AC| = 5 cm ve |BC| = 8 cm'dir.
D noktası [BC] üzerinde ve |BD| = 3 cm olduğuna göre |AD| kaç cm'dir?Çözüm: Stewart teoremi: |AB|²·|DC| + |AC|²·|BD| = |BC|·(|AD|² + |BD|·|DC|).
|DC| = 5 cm: 49·5 + 25·3 = 8·(|AD|² + 15)
320 = 8|AD|² + 120 ⇒ |AD|² = 25 ⇒ |AD| = 5 cm. Bu soruda hata mı var? Bildir -
Soru 6
ABC üçgeninde m(BÂC) = 120°, |AB| = 6 cm ve |AC| = 3 cm'dir.
A açısının iç açıortayı [BC] kenarını D noktasında kestiğine göre |AD| kaç cm'dir?Çözüm: Alanlardan: A(ABC) = A(ABD) + A(ADC).
(1/2)·6·3·sin 120° = (1/2)·6·|AD|·sin 60° + (1/2)·3·|AD|·sin 60°.
sin 120° = sin 60° olduğundan 18 = 9·|AD| ⇒ |AD| = 2 cm.
(120°'lik açıda açıortay için 1/|AD| = 1/6 + 1/3 bağıntısı da kullanılabilir.) Bu soruda hata mı var? Bildir -
Soru 7
ABC üçgeninin alanı 60 cm²'dir. D noktası [AB] üzerinde ve |AD| : |DB| = 1 : 2; E noktası [AC] üzerinde ve |AE| : |EC| = 3 : 1'dir.
Buna göre DBCE dörtgeninin alanı kaç cm²'dir?Çözüm: A açısı ortak olduğundan A(ADE) / A(ABC) = (|AD|/|AB|)·(|AE|/|AC|) = (1/3)·(3/4) = 1/4.
A(ADE) = 60/4 = 15 cm².
A(DBCE) = 60 − 15 = 45 cm². Bu soruda hata mı var? Bildir -
Soru 8
Kenar uzunlukları 5 cm, 7 cm ve 8 cm olan bir üçgende, uzunluğu 8 cm olan kenara ait kenarortayın uzunluğu kaç cm'dir?Çözüm: Kenarortay bağıntısı: 4·Va² = 2b² + 2c² − a².
4·Va² = 2·25 + 2·49 − 64 = 84 ⇒ Va² = 21.
Kenarortay uzunluğu √21 cm'dir. Bu soruda hata mı var? Bildir -
Soru 9
Kenar uzunlukları 5 cm, 5 cm ve 6 cm olan bir üçgenin çevrel çemberinin yarıçapı kaç cm'dir?Çözüm: Tabana (6 cm) ait yükseklik: √(5² − 3²) = 4 cm, alan = 6·4/2 = 12 cm².
R = (a·b·c)/(4·Alan) = (5·5·6)/(4·12) = 150/48 = 25/8 cm.
(Sinüs teoremiyle de: tabanın karşısındaki açı için sin A = 24/25, R = 6/(2·24/25) = 25/8.) Bu soruda hata mı var? Bildir -
Soru 10
ABC üçgeninde m(ABC) = 2·m(AĈB), |AB| = 4 cm ve |AC| = 6 cm'dir.
Buna göre |BC| kaç cm'dir?Çözüm: m(C) = x, m(B) = 2x olsun. Sinüs teoremi: |AC|/sin 2x = |AB|/sin x ⇒ 6/(2 sin x cos x) = 4/sin x ⇒ cos x = 3/4.
Kosinüs teoremi C köşesinde: |AB|² = |AC|² + |BC|² − 2·|AC|·|BC|·cos x
16 = 36 + a² − 9a ⇒ a² − 9a + 20 = 0 ⇒ a = 4 veya a = 5.
a = 4 olsaydı |BC| = |AB| olur, A ve C açıları eşit (m(A) = x) çıkar; o zaman x + 2x + x = 180° ⇒ x = 45° ve cos x = √2/2 ≠ 3/4, çelişki.
Bu nedenle |BC| = 5 cm. (Kontrol: b² = c(c + a) ⇒ 36 = 4·9.) Bu soruda hata mı var? Bildir
Sonucun
Üçgenler Konu Özeti
AYT'de üçgenler, TYT'de öğrendiğin açı, benzerlik ve alan bilgisinin üzerine trigonometriyi ekler. Artık bir üçgende iki kenar ve aradaki açı verildiğinde üçüncü kenarı kosinüs teoremiyle, bir kenar ve karşısındaki açı biliniyorsa diğer kenarları sinüs teoremiyle bulursun. Sinüs teoremi aynı zamanda çevrel çemberin yarıçapını verir: a/sin A = 2R. Alan için (1/2)·b·c·sin A formülü, yüksekliği bilinmeyen her durumda ilk başvuracağın araçtır. Bu formüller sayesinde dik olmayan üçgenlerde de rahatça hesap yapabilirsin.
Konunun ikinci ayağı özel doğru parçalarıdır. Kenarortay uzunluğu 4·Va² = 2b² + 2c² − a² bağıntısıyla, bir köşeden karşı kenara çizilen herhangi bir doğru parçası ise Stewart teoremiyle hesaplanır. İç açıortay, karşı kenarı komşu kenarlarla orantılı böler; açıortay uzunluğu için alanları toplamak çoğu zaman en hızlı yoldur. Bir kenar üzerindeki noktalar ve kesişen doğru parçaları söz konusu olduğunda Menelaus, Ceva ya da kütle noktası yöntemi oranları birkaç satırda verir.
Soru çözerken önce hangi elemanların verildiğine bak: iki kenar ve aradaki açı kosinüs teoremini, karşılıklı kenar–açı çiftleri sinüs teoremini çağırır. Açılar arasında 2 katı gibi bir ilişki varsa sinüs teoremindeki çift açı formülünü kullan, sonra bulduğun değerleri üçgen eşitsizliği ve açı toplamıyla kontrol et. Alan oranı sorularında ortak açılı üçgenlerin alanlarının, o açıyı oluşturan kenarların çarpımıyla orantılı olduğunu unutma. Bu kural, karmaşık görünen dörtgen alanlarını tek bir çıkarma işlemine indirger.
Bilmen Gerekenler
- Kosinüs teoremi: a² = b² + c² − 2bc·cos A
- Sinüs teoremi: a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R
- Alan = (1/2)·b·c·sin A; Heron: Alan = √(u(u − a)(u − b)(u − c)), u yarı çevre
- Çevrel ve iç teğet çember: R = abc/(4·Alan), r = Alan/u
- Kenarortay: 4·Va² = 2b² + 2c² − a²
- Stewart: b²·|BD| + c²·|DC| = a·(|AD|² + |BD|·|DC|), D ∈ [BC]
- İç açıortay teoremi: |BD|/|DC| = c/b; 120°'lik açıda açıortay için 1/l = 1/b + 1/c
- Menelaus: (|AF|/|FB|)·(|BD|/|DC|)·(|CE|/|EA|) = 1 (bir doğru üç kenar doğrusunu kestiğinde)
Sık Yapılan Hatalar
- Kosinüs teoreminde geniş açının kosinüsünün negatif olduğunu unutup −2bc·cos A terimini yanlış işaretle yazmak.
- Sinüs değeri verilen açıda hem α hem 180° − α çözümünü göz ardı etmek ya da dar/geniş koşulunu kontrol etmemek.
- Stewart teoreminde kenarların karelerini yanlış parçalarla eşleştirmek (b² ile |BD| değil, |DC| ile çarpılır gibi karışıklıklar).
- İkinci dereceden denklemden gelen iki kök için açı ilişkilerini kontrol etmeden ikisini de kabul etmek.
Sıkça Sorulan Sorular
Üçgenler testini nasıl çözmeliyim?
Önce aşağıdaki konu özetini oku, ardından süreyi başlatıp soruları gerçek sınavdaki gibi çöz. Bitirdiğinde yanlış ve boş bıraktığın soruların çözümlerini incele; eksik kaldığın noktaları konu özetinden tekrar et ve testi yeniden çöz.
Üçgenler testi kaç soru ve kaç dakika?
Bu AYT Üçgenler testi 10 sorudan oluşur ve süresi 15 dakikadır. Test bittiğinde netin 4 yanlış 1 doğruyu götürür kuralına göre hesaplanır.