AYT Analitik Geometri Testi
AYT Geometri Analitik Geometri konusundan 10 soruluk süreli test. Başla butonuna bas, soruları çöz; bitirdiğinde netini ve her sorunun çözümünü anında gör. Testin altında konu özetini de bulabilirsin.
- 10 soru
- 15 dakika
- Çözümlü
- Test 1/2
-
Soru 1
Analitik düzlemde A(2, −1), B(5, 8) ve C(a, 11) noktaları aynı doğru üzerindedir.
Buna göre a kaçtır?Çözüm: AB doğrusunun eğimi (8 − (−1))/(5 − 2) = 3.
C de aynı doğru üzerinde olduğundan AC eğimi de 3 olmalı: (11 − (−1))/(a − 2) = 3 ⇒ 12 = 3a − 6 ⇒ a = 6. Bu soruda hata mı var? Bildir -
Soru 2
2x − 3y + 6 = 0 doğrusuna dik olan bir doğrunun eğimi kaçtır?Çözüm: 2x − 3y + 6 = 0 ⇒ y = (2/3)x + 2, eğim 2/3.
Dik doğruların eğimleri çarpımı −1 olduğundan istenen eğim −3/2. Bu soruda hata mı var? Bildir -
Soru 3
A(k, 2) noktasının 3x + 4y − 5 = 0 doğrusuna uzaklığı 3 birimdir.
k > 0 olduğuna göre k kaçtır?Çözüm: d = |3k + 4·2 − 5| / √(3² + 4²) = |3k + 3|/5 = 3 ⇒ |3k + 3| = 15.
3k + 3 = 15 ⇒ k = 4 veya 3k + 3 = −15 ⇒ k = −6.
k > 0 olduğundan k = 4. Bu soruda hata mı var? Bildir -
Soru 4
6x − 8y + 3 = 0 ve 3x − 4y − 6 = 0 doğruları arasındaki uzaklık kaç birimdir?Çözüm: İkinci doğru 2 ile çarpılır: 6x − 8y − 12 = 0.
Paralel doğrular arası uzaklık = |3 − (−12)| / √(36 + 64) = 15/10 = 3/2 birim. Bu soruda hata mı var? Bildir -
Soru 5
Köşeleri A(1, 2), B(5, −1) ve C(4, 6) olan ABC üçgeninin alanı kaç birimkaredir?Çözüm: Determinant (shoelace) yöntemi:
2·Alan = |1·(−1 − 6) + 5·(6 − 2) + 4·(2 − (−1))| = |−7 + 20 + 12| = 25.
Alan = 25/2 birimkare. Bu soruda hata mı var? Bildir -
Soru 6
kx + 2y − 3 = 0 ve 3x + (k + 1)y + 5 = 0 doğruları birbirine paraleldir.
Buna göre k'nin alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?Çözüm: Paralellik için k/3 = 2/(k + 1) ⇒ k(k + 1) = 6 ⇒ k² + k − 6 = 0 ⇒ k = 2 veya k = −3.
k = 2: 2x + 2y − 3 = 0 ve 3x + 3y + 5 = 0 (çakışık değil).
k = −3: −3x + 2y − 3 = 0 ve 3x − 2y + 5 = 0 (çakışık değil).
İki değer de geçerli; toplam 2 + (−3) = −1. Bu soruda hata mı var? Bildir -
Soru 7
A(−2, 1) ve B(7, 10) noktaları veriliyor. P(a, b) noktası [AB] üzerinde ve |AP| = 2·|PB|'dir.
Buna göre a + b toplamı kaçtır?Çözüm: P, [AB]'yi A'dan itibaren 2 : 1 oranında böler: P = (A + 2B)/3.
a = (−2 + 14)/3 = 4, b = (1 + 20)/3 = 7.
a + b = 11. Bu soruda hata mı var? Bildir -
Soru 8
y = 3x − 2 ve y = (1/2)x + 4 doğruları arasındaki dar açının ölçüsü kaç derecedir?Çözüm: tan θ = |(m₁ − m₂)/(1 + m₁·m₂)| = |(3 − 1/2)/(1 + 3/2)| = (5/2)/(5/2) = 1.
Dar açı θ = 45°. Bu soruda hata mı var? Bildir -
Soru 9
Köşeleri A(0, 0), B(8, 0) ve C(2, 6) olan ABC üçgeninin diklik merkezi H(p, q) olduğuna göre p + q toplamı kaçtır?Çözüm: C'den [AB]'ye (x ekseni) inen yükseklik: x = 2.
BC doğrusunun eğimi (6 − 0)/(2 − 8) = −1; A'dan inen yükseklik buna dik olduğundan eğimi 1: y = x.
Kesişim H(2, 2) ⇒ p + q = 4.
(Kontrol: BH = (−6, 2), AC = (2, 6); BH·AC = −12 + 12 = 0.) Bu soruda hata mı var? Bildir -
Soru 10
P(2, 3) noktasından geçen bir doğru, eksenlerin pozitif kısımlarını kesmekte ve eksenlerle bir üçgen oluşturmaktadır.
Bu üçgenin alanı en az kaç birimkaredir?Çözüm: Doğru x/a + y/b = 1 (a, b > 0) olsun: 2/a + 3/b = 1.
AG eşitsizliği: 1 = 2/a + 3/b ≥ 2√(6/(ab)) ⇒ ab ≥ 24.
Alan = ab/2 ≥ 12; eşitlik 2/a = 3/b = 1/2, yani a = 4, b = 6 iken sağlanır.
En küçük alan 12 birimkare. Bu soruda hata mı var? Bildir
Sonucun
Analitik Geometri Konu Özeti
Analitik geometri, geometrik şekilleri koordinat düzleminde sayılarla ifade etmeyi sağlar. İki nokta arasındaki uzaklık Pisagor bağıntısından, orta nokta ise koordinatların ortalamasından bulunur. Bir doğru parçasını belli oranda bölen nokta ağırlıklı ortalama ile hesaplanır. Doğrunun eğimi, y'deki değişimin x'teki değişime oranıdır; eğim açısının tanjantına eşittir. Üç noktanın doğrusal olması, herhangi iki çift için eğimlerin eşit olmasıyla kontrol edilir. Bu temel araçlar, AYT'deki bütün analitik soruların ilk adımıdır.
Doğru denklemi y = mx + n ya da ax + by + c = 0 biçiminde yazılır. Paralel doğruların eğimleri eşit, dik doğruların eğimleri çarpımı −1'dir. İki doğru arasındaki açı tan θ = |(m₁ − m₂)/(1 + m₁m₂)| ile bulunur. Bir noktanın doğruya uzaklığı |ax₀ + by₀ + c|/√(a² + b²), paralel iki doğru arasındaki uzaklık ise katsayıları eşitlendikten sonra |c₁ − c₂|/√(a² + b²) formülüyle hesaplanır.
Üçgen soruları analitikte sıkça karşına çıkar: alan için determinant (shoelace) yöntemi, ağırlık merkezi için köşe koordinatlarının ortalaması, diklik merkezi için iki yüksekliğin kesişimi kullanılır. En küçük alan ya da en kısa yol gibi optimizasyon sorularında eksen kesen formu x/a + y/b = 1 ile aritmetik–geometrik ortalama eşitsizliği güçlü bir ikilidir. Parametreli doğru sorularında çakışıklık durumunu ayrıca kontrol etmeyi unutma. Mutlak değerli uzaklık denklemlerinde iki durumu da yazıp soru koşuluna uymayanı elemek gerekir.
Bilmen Gerekenler
- Uzaklık: |AB| = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²); orta nokta ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2)
- |AP| : |PB| = k : 1 ise P = (A + k·B)/(k + 1)
- Eğim m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁) = tan α; paralel: m₁ = m₂, dik: m₁·m₂ = −1
- Noktanın doğruya uzaklığı: |ax₀ + by₀ + c| / √(a² + b²)
- Paralel doğrular arası uzaklık: |c₁ − c₂| / √(a² + b²) (a, b katsayıları eşitken)
- İki doğru arasındaki açı: tan θ = |(m₁ − m₂)/(1 + m₁·m₂)|
- Üçgen alanı: (1/2)·|x₁(y₂ − y₃) + x₂(y₃ − y₁) + x₃(y₁ − y₂)|
- Eksen kesen form: x/a + y/b = 1
Sık Yapılan Hatalar
- Paralel doğrular arası uzaklıkta x ve y katsayılarını eşitlemeden sabitleri çıkarmak.
- Paralellik koşulundan bulunan değerlerde doğruların çakışık olup olmadığını kontrol etmemek.
- Eğim hesabında pay ve paydadaki koordinatların sırasını karıştırıp işaret hatası yapmak.
- Mutlak değerli uzaklık denkleminde yalnızca pozitif durumu çözüp ikinci kökü unutmak.
Sıkça Sorulan Sorular
Analitik Geometri testini nasıl çözmeliyim?
Önce aşağıdaki konu özetini oku, ardından süreyi başlatıp soruları gerçek sınavdaki gibi çöz. Bitirdiğinde yanlış ve boş bıraktığın soruların çözümlerini incele; eksik kaldığın noktaları konu özetinden tekrar et ve testi yeniden çöz.
Analitik Geometri testi kaç soru ve kaç dakika?
Bu AYT Analitik Geometri testi 10 sorudan oluşur ve süresi 15 dakikadır. Test bittiğinde netin 4 yanlış 1 doğruyu götürür kuralına göre hesaplanır.