AYT Çemberin Analitiği Testi
AYT Geometri Çemberin Analitiği konusundan 10 soruluk süreli test. Başla butonuna bas, soruları çöz; bitirdiğinde netini ve her sorunun çözümünü anında gör. Testin altında konu özetini de bulabilirsin.
- 10 soru
- 15 dakika
- Çözümlü
- Test 1/2
-
Soru 1
x² + y² − 6x + 4y − 12 = 0 çemberinin yarıçapı kaç birimdir?Çözüm: Merkez M(−D/2, −E/2) = (3, −2).
r² = 3² + (−2)² − (−12) = 9 + 4 + 12 = 25 ⇒ r = 5 birim. Bu soruda hata mı var? Bildir -
Soru 2
Merkezi M(2, −1) olan ve A(5, 3) noktasından geçen çemberin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?Çözüm: r = |MA| = √((5 − 2)² + (3 + 1)²) = √(9 + 16) = 5.
Denklem: (x − 2)² + (y + 1)² = 25. Bu soruda hata mı var? Bildir -
Soru 3
Merkezi M(−3, 4) olan ve x eksenine teğet olan çemberin denklemi x² + y² + Dx + Ey + F = 0 biçiminde yazıldığında F kaçtır?Çözüm: x eksenine teğet olduğundan r = |4| = 4.
(x + 3)² + (y − 4)² = 16 ⇒ x² + y² + 6x − 8y + 9 + 16 − 16 = 0.
F = 9. Bu soruda hata mı var? Bildir -
Soru 4
P(7, 1) noktasından (x − 1)² + (y + 2)² = 20 çemberine çizilen teğet parçasının uzunluğu kaç birimdir?Çözüm: Merkez M(1, −2), r² = 20.
|PM|² = (7 − 1)² + (1 + 2)² = 36 + 9 = 45.
Teğet uzunluğu = √(|PM|² − r²) = √(45 − 20) = 5 birim. Bu soruda hata mı var? Bildir -
Soru 5
3x + 4y + k = 0 doğrusu x² + y² = 4 çemberine teğettir.
k > 0 olduğuna göre k kaçtır?Çözüm: Merkez (0, 0), r = 2. Teğetlik için merkezin doğruya uzaklığı yarıçapa eşit olmalı:
|k|/√(9 + 16) = 2 ⇒ |k| = 10 ⇒ k = 10. Bu soruda hata mı var? Bildir -
Soru 6
x² + y² − 2x − 4y − 20 = 0 çemberinin x = 4 doğrusu tarafından ayrılan kirişinin uzunluğu kaç birimdir?Çözüm: Merkez M(1, 2), r² = 1 + 4 + 20 = 25 ⇒ r = 5.
Merkezin x = 4 doğrusuna uzaklığı 3.
Kiriş uzunluğu = 2·√(25 − 9) = 2·4 = 8 birim. Bu soruda hata mı var? Bildir -
Soru 7
(m, 2) noktası x² + y² = 13 çemberinin iç bölgesinde olduğuna göre m'nin alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?Çözüm: İç bölge şartı: m² + 2² < 13 ⇒ m² < 9 ⇒ −3 < m < 3.
Tam sayılar: −2, −1, 0, 1, 2 ⇒ 5 değer. Bu soruda hata mı var? Bildir -
Soru 8
x² + y² = 25 ve x² + y² − 12x + 23 = 0 çemberlerinin ortak kirişinin uzunluğu kaç birimdir?Çözüm: İki denklem taraf tarafa çıkarılırsa ortak kiriş doğrusu bulunur: 12x − 23 = 25 ⇒ 12x = 48 ⇒ x = 4.
x = 4 için x² + y² = 25 ⇒ y = ±3.
Kesişim noktaları (4, 3) ve (4, −3); kiriş uzunluğu 6 birim.
(İkinci çember: (x − 6)² + y² = 13; (4, ±3) bunu da sağlar.) Bu soruda hata mı var? Bildir -
Soru 9
x² + y² = 25 çemberine üzerindeki A(3, 4) noktasında çizilen teğet doğrusu ile koordinat eksenleri arasında kalan üçgenin alanı kaç birimkaredir?Çözüm: Çember üzerindeki (x₀, y₀) noktasındaki teğet: x₀x + y₀y = r² ⇒ 3x + 4y = 25.
Eksenleri kestiği noktalar: (25/3, 0) ve (0, 25/4).
Alan = (1/2)·(25/3)·(25/4) = 625/24 birimkare. Bu soruda hata mı var? Bildir -
Soru 10
x² + y² − 4x + 6y + 9 = 0 çemberi üzerindeki bir noktanın 3x − 4y + 12 = 0 doğrusuna olan uzaklığı en az kaç birimdir?Çözüm: Merkez M(2, −3), r² = 4 + 9 − 9 = 4 ⇒ r = 2.
Merkezin doğruya uzaklığı: |3·2 − 4·(−3) + 12|/5 = 30/5 = 6 > 2 (doğru çemberi kesmez).
En küçük uzaklık = 6 − 2 = 4 birim. Bu soruda hata mı var? Bildir
Sonucun
Çemberin Analitiği Konu Özeti
Çemberin analitiğinde temel araç, merkezi M(a, b) ve yarıçapı r olan çemberin (x − a)² + (y − b)² = r² denklemidir. Genel form x² + y² + Dx + Ey + F = 0 verildiğinde merkez (−D/2, −E/2) ve r² = (D² + E² − 4F)/4 olarak bulunur. Bu ifadenin pozitif olması denklemin gerçekten bir çember belirtmesi için şarttır. Eksenlere teğet çemberlerde yarıçap, merkezin ilgili eksene uzaklığına, yani koordinatlardan birinin mutlak değerine eşittir.
Bir noktanın çembere göre konumu, koordinatları denklemde yerine yazılarak belirlenir: sonuç r²'den küçükse nokta içte, eşitse üzerinde, büyükse dışarıdadır. Doğru ile çemberin durumunu ise merkezin doğruya uzaklığı d belirler: d < r ise doğru çemberi iki noktada keser, d = r ise teğettir, d > r ise kesmez. Kesişen durumda kiriş uzunluğu 2√(r² − d²) formülüyle bulunur; çember dışındaki bir noktadan çizilen teğet uzunluğu ise √(|PM|² − r²)'dir.
İki çemberin kesişim sorularında denklemleri taraf tarafa çıkarmak ortak kiriş doğrusunu verir. Çember üzerindeki bir noktanın bir doğruya en küçük ve en büyük uzaklıkları d − r ve d + r'dir. Çember üzerindeki (x₀, y₀) noktasındaki teğet, merkezi orijinde olan çemberde x₀x + y₀y = r² biçiminde yazılır. Sorularda önce merkez ve yarıçapı çıkarıp bir çizim yapmak, çoğu zaman çözümü kendiliğinden gösterir.
Bilmen Gerekenler
- Standart denklem: (x − a)² + (y − b)² = r²
- Genel denklem: x² + y² + Dx + Ey + F = 0 ⇒ M(−D/2, −E/2), r² = (D² + E² − 4F)/4
- Konum: (x₀ − a)² + (y₀ − b)² ile r² karşılaştırılır
- Doğru–çember: d < r kesişir, d = r teğet, d > r ayrık
- Kiriş uzunluğu: 2√(r² − d²); teğet uzunluğu: √(|PM|² − r²)
- Orijin merkezli çemberde (x₀, y₀) noktasındaki teğet: x₀x + y₀y = r²
- Ortak kiriş: iki çember denklemi taraf tarafa çıkarılır
- Çember ile doğru arası en kısa uzaklık d − r, en uzak d + r (d > r iken)
Sık Yapılan Hatalar
- Genel denklemden merkezi bulurken işareti değiştirmeyi unutmak ((−D/2, −E/2) yerine (D/2, E/2) yazmak).
- x² ve y² katsayıları 1 değilken denklemi sadeleştirmeden merkez ve yarıçap formülünü uygulamak.
- Çembere teğet olma koşulunu mutlak değerle kurup negatif çözümü soru koşuluna göre elemeyi unutmak.
- Teğet uzunluğunu merkez uzaklığının kendisi sanmak; r² çıkarılıp karekök alınmalıdır.
Sıkça Sorulan Sorular
Çemberin Analitiği testini nasıl çözmeliyim?
Önce aşağıdaki konu özetini oku, ardından süreyi başlatıp soruları gerçek sınavdaki gibi çöz. Bitirdiğinde yanlış ve boş bıraktığın soruların çözümlerini incele; eksik kaldığın noktaları konu özetinden tekrar et ve testi yeniden çöz.
Çemberin Analitiği testi kaç soru ve kaç dakika?
Bu AYT Çemberin Analitiği testi 10 sorudan oluşur ve süresi 15 dakikadır. Test bittiğinde netin 4 yanlış 1 doğruyu götürür kuralına göre hesaplanır.